∫ Integralrechner — Integral & Stammfunktion berechnen

Bestimmtes & unbestimmtes Integral online berechnen — mit Rechenweg, Stammfunktion, Flächenberechnung & Integrationsregeln

✓ Stammfunktion ✓ Bestimmtes Integral ✓ Rechenweg ✓ Flächenberechnung

Funktion f(x) eingeben

Funktion f(x)

Schnelleingabe

📝 Eingabe-Hinweise: Multiplikation immer mit * schreiben (z.B. 3*x). Potenzen mit ^ (z.B. x^2). Brüche in Klammern: (1)/(x+1). Wurzel: sqrt(x).

Integral wird berechnet…

Stammfunktion F(x)

—

+ C (Integrationskonstante)

📊 Übersicht

Integrand f(x)—

Integrationsvariablex

Integraltyp—

Ergebnis—

📖 Rechenweg & Erklärung

⚠️ Hinweis: Dieser Integralrechner nutzt KI-gestützte Berechnung. Für komplexe Funktionen kann das Ergebnis gerundet oder in vereinfachter Form ausgegeben werden. Überprüfe das Ergebnis bei wichtigen Aufgaben durch Ableiten der Stammfunktion.

Die wichtigsten Integrationsregeln — Übersicht

⚡ Grundintegrale

∫ xⁿ dxxⁿ⁺¹/(n+1) + C

∫ 1 dxx + C

∫ 1/x dxln|x| + C

∫ eˣ dxeˣ + C

∫ aˣ dxaˣ/ln(a) + C

∫ √x dx(2/3)·x^(3/2) + C

📐 Trigonometrische Integrale

∫ sin(x) dx−cos(x) + C

∫ cos(x) dxsin(x) + C

∫ tan(x) dx−ln|cos(x)| + C

∫ 1/cos²(x) dxtan(x) + C

∫ 1/sin²(x) dx−cot(x) + C

∫ arcsin(x) dxx·arcsin(x)+√(1−x²)+C

📏 Rechenregeln

Faktorregel∫ k·f(x) = k·∫f(x)

Summenregel∫(f+g) = ∫f + ∫g

Partielle Integration∫u·v‘ = u·v − ∫u’·v

Substitution∫f(g(x))·g'(x)dx

Kettenregel (rückwärts)∫f(ax+b)dx = F(ax+b)/a

Partialbruchzerlg.für rationale Funktionen

🎯 Bestimmtes Integral

Hauptsatz∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a)

Vertauschung∫ₐᵇ = −∫ᵦₐ

Additivität∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵦ

Gleiche Grenzen∫ₐₐ f(x)dx = 0

Linearität∫ₐᵇ (αf+βg) = α∫f+β∫g

FlächeninhaltA = ∫ₐᵇ |f(x)| dx

Stammfunktionstabelle — Häufige Funktionen

f(x)	F(x) = ∫f(x) dx	Bedingung

Beispiele — Klicken zum Übernehmen

Eingabe-Syntax — Referenz

Potenz x²x^2

Multiplikation 3·x3*x

Bruch 1/(x+1)(1)/(x+1)

Wurzel √xsqrt(x)

Euler e^xexp(x) oder e^x

Natürl. Logarithmusln(x)

Sinus/Kosinussin(x), cos(x)

Unendlichinf oder oo

Pipi

Arkustangensarctan(x)

Flächenberechnung mit Integralen — Fläche unter einer Kurve

Fläche zwischen Funktion und x-Achse berechnen

Funktion f(x)

f(x)

Untere Grenze (a)

Obere Grenze (b)

Berechnungsart

Flächeninhalt wird berechnet…

Flächeninhalt A

—

Flächeneinheiten (FE)

📊 Flächenberechnung — Übersicht

Funktion f(x)—

Integrationsgrenzen [a, b]—

Berechnungsart—

Flächeninhalt A—

📖 Rechenweg Flächenberechnung

💡 Tipp: Bestimme zuerst die Nullstellen von f(x) im Intervall mit dem Nullstellen-Rechner — bei Vorzeichenwechsel entstehen positive und negative Flächenanteile, die getrennt berechnet werden müssen.

Flächenberechnung — Wichtige Formeln

Flächenformeln mit Integralen

Fläche unter f(x) ≥ 0A = ∫ₐᵇ f(x) dx

Fläche unter x-Achse (f(x) ≤ 0)A = |∫ₐᵇ f(x) dx|

Absolute Fläche (Vorzeichenwechsel)A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx

Zwischen zwei KurvenA = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx

Bogenlänge einer KurveL = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx

Rotationsvolumen (um x-Achse)V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

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Wann welchen Rechner verwenden?

Integralrechner vs. verwandte Rechner

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Mit dem kostenlosen Integralrechner auf rechneneinfach.de berechnest du bestimmte und unbestimmte Integrale direkt online — mit vollständigem Rechenweg, Stammfunktion und Schritt-für-Schritt-Erklärung. Ob einfaches Polynom, trigonometrische Funktion, Exponentialfunktion oder komplexerer Term: Der Integrationsrechner unterstützt alle gängigen Funktionstypen und zeigt dir, wie die Lösung Schritt für Schritt entsteht.

Der Integralrechner mit Rechenweg eignet sich ideal zum Überprüfen von Hausaufgaben, zur Klausurvorbereitung und zum Verstehen von Integrationstechniken. Du kannst sowohl Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) als auch bestimmte Integrale mit Ober- und Untergrenze berechnen — zusätzlich bietet der integrierte Flächenrechner die Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven und zwischen zwei Funktionen.

Was ist ein Integral? — Grundlagen der Integralrechnung

Ein Integral ist eines der grundlegenden Konzepte der Analysis und der Differenzial- und Integralrechnung. Es beschreibt die Umkehroperation zur Ableitung und hat zwei zentrale Bedeutungen: Zum einen beschreibt das unbestimmte Integral (Stammfunktion) eine Funktion F(x), deren Ableitung F'(x) = f(x) ergibt. Zum anderen berechnet das bestimmte Integral den (vorzeichenbehafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse in einem festgelegten Intervall [a, b].

Grundlegende Integralformeln: Unbestimmt: ∫ f(x) dx = F(x) + C (F'(x) = f(x))Bestimmt: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) (Hauptsatz der Integralrechnung)

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet beide Konzepte: Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, bestimmt man zunächst die Stammfunktion F(x) und wertet sie an den Grenzen aus. Das Ergebnis [F(b) − F(a)] ergibt den genauen Zahlenwert des Integrals.

Unbestimmtes Integral (Stammfunktion) berechnen

Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x) + C, wobei C eine beliebige reelle Konstante (Integrationskonstante) darstellt. Beim Stammfunktion berechnen wendet man die Integrationsregeln an — die wichtigsten sind die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel.

Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (für n ≠ −1)
Faktorregel: ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx
Summenregel: ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
Partielle Integration: ∫ u·v‘ dx = u·v − ∫ u’·v dx
Substitutionsregel (Integrationsrechnung): ∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C

Der Stammfunktionsrechner (Tab 1, Modus „Unbestimmtes Integral“) wendet diese Regeln automatisch an und gibt die Stammfunktion F(x) + C mit vollständigem Rechenweg aus.

Bestimmtes Integral berechnen — Schritt für Schritt

Beim bestimmtes Integral berechnen wird zunächst die Stammfunktion F(x) ermittelt, anschließend an der oberen Grenze b und der unteren Grenze a ausgewertet und die Differenz [F(b) − F(a)] berechnet. Das Ergebnis ist ein konkreter Zahlenwert — kein Term mit Integrationskonstante.

Beispiel: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = (2³/3) − (0³/3) = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2,667

Im Integralrechner oben wählst du dafür den Modus „Bestimmtes Integral“, gibst die Funktion ein und trägst Unter- und Obergrenze ein. Der Rechenweg zeigt dir alle Zwischenschritte: Stammfunktion bestimmen → Einsetzen der Grenzen → Differenz berechnen.

Integrationsregeln — Übersicht der wichtigsten Techniken

Je nach Funktionstyp kommen beim Integrieren verschiedene Techniken zum Einsatz. Der Tab „Integrationsregeln“ im Rechner zeigt alle Regeln im Überblick. Die häufigsten Integrationstechniken sind:

Partielle Integration

Die partielle Integration (auch Produktintegration) wird angewendet, wenn der Integrand ein Produkt zweier Funktionen ist — typischerweise bei Ausdrücken wie x·eˣ, x·sin(x) oder x·ln(x). Die Formel lautet: ∫ u·v‘ dx = u·v − ∫ u’·v dx. Die Kunst liegt in der richtigen Wahl von u und v‘.

Integralrechnung mit Substitution

Die Substitutionsregel in der Integralrechnung wird eingesetzt, wenn der Integrand die Form f(g(x))·g'(x) hat — also eine verkettete Funktion, deren innere Ableitung als Faktor vorkommt. Typische Fälle: ∫ sin(2x) dx, ∫ x·√(x²+1) dx. Der Substitutionsrechner im Tool erkennt dieses Muster automatisch.

Partialbruchzerlegung

Bei rationalen Funktionen (Brüchen mit Polynomen) kommt die Partialbruchzerlegung zum Einsatz. Der Nenner wird faktorisiert und der Bruch in einfachere Teilbrüche zerlegt, die sich einzeln integrieren lassen.

Flächenberechnung mit Integralen

Eine der wichtigsten Anwendungen der Integralrechnung ist die Flächenberechnung. Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx berechnet den vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse. Liegt die Kurve unterhalb der x-Achse, ergibt das Integral einen negativen Wert — der geometrische Flächeninhalt ist jedoch positiv (Betrag).

Fläche unter einer Kurve (f(x) ≥ 0): A = ∫ₐᵇ f(x) dx
Absolute Fläche (Vorzeichenwechsel): A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx — Nullstellen im Intervall bestimmen!
Fläche zwischen zwei Kurven: A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx
Flächeninhalt Integralrechnung mit Vorzeichenwechsel: Intervall in Teilbereiche aufteilen und betragsweise addieren

Der Tab Flächenberechnung im Rechner oben übernimmt diese Berechnung automatisch — auch bei Funktionen mit Vorzeichenwechsel, bei denen Teilintervalle getrennt ausgewertet werden müssen.

Stammfunktionstabelle — Häufige Integrale auf einen Blick

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x) = ∫ f(x) dx
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
eˣ	eˣ + C
aˣ	aˣ/ln(a) + C
ln(x)	x·ln(x) − x + C
sin(x)	−cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
tan(x)	−ln\|cos(x)\| + C
1/cos²(x)	tan(x) + C
√x	(2/3)·x^(3/2) + C
arctan(x)	x·arctan(x) − ½·ln(1+x²) + C
1/(x²+1)	arctan(x) + C

Integralrechnung — Häufig gestellte Fragen

Das unbestimmte Integral berechnet die Stammfunktion F(x) + C — das Ergebnis ist eine Funktion (plus Integrationskonstante C). Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx hingegen liefert einen konkreten Zahlenwert: F(b) − F(a). Es entspricht dem vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b].

Da viele verschiedene Funktionen dieselbe Ableitung haben können (z.B. x² und x² + 5 haben beide die Ableitung 2x), wird beim unbestimmten Integral die Konstante + C addiert. Sie steht für alle möglichen vertikalen Verschiebungen der Stammfunktion. Beim bestimmten Integral fällt C weg, da F(b) − F(a) − (C − C) = F(b) − F(a) gilt.

Aufleiten (auch: integrieren) ist das Gegenteil des Ableitens. Zu einer Funktion f(x) wird die Stammfunktion F(x) gesucht, sodass F'(x) = f(x) gilt. Der Begriff „aufleiten“ wird im deutschen Schulkontext häufig synonym zu „integrieren“ verwendet — unser Aufleitungsrechner (Tab 1, Modus „Unbestimmtes Integral“) übernimmt genau diese Aufgabe.

Für das händische Berechnen eines Integrals: (1) Funktionstyp erkennen, (2) passende Integrationstechnik wählen (Potenzregel, partielle Integration, Substitution), (3) Stammfunktion F(x) bestimmen, (4) bei bestimmtem Integral: F(b) − F(a) berechnen. Der Integralrechner mit Rechenweg oben zeigt dir jeden dieser Schritte explizit.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt: Wenn f(x) stetig auf [a, b] ist, existiert ein Punkt c ∈ [a, b] mit f(c) = (1/(b−a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx. Mit anderen Worten: Das bestimmte Integral geteilt durch die Intervalllänge ergibt den Durchschnittswert (Mittelwert) der Funktion auf dem Intervall.

Die Anwendungen der Integralrechnung sind vielfältig: Flächenberechnung von unregelmäßigen Flächen, Volumenberechnungen von Rotationskörpern, Schwerpunktberechnung, Berechnung von Arbeit und Energie in der Physik (W = ∫F·ds), Wahrscheinlichkeitsrechnung (Flächeninhalt unter Dichtefunktionen), Signalverarbeitung und Steuerung technischer Systeme.

Ein uneigentliches Integral (auch: improperes Integral) liegt vor, wenn eine oder beide Integrationsgrenzen unendlich sind (∫₁^∞ 1/x² dx) oder wenn der Integrand im Integrationsbereich eine Polstelle hat. Der Wert wird als Grenzwert berechnet. Im Integralrechner kannst du inf oder oo als Grenze eingeben.

Fazit — Integralrechner auf rechneneinfach

Der Integralrechner auf rechneneinfach.de berechnet bestimmte und unbestimmte Integrale kostenlos online — mit vollständigem Rechenweg, Stammfunktion und Flächenberechnung. Er eignet sich für Schüler, Abiturienten und Studierende gleichermaßen: zur schnellen Ergebniskontrolle, zur Klausurvorbereitung und zum besseren Verständnis der Integralrechnung. Bei prüfungsrelevanten Aufgaben empfiehlt sich die Überprüfung durch Ableiten der Stammfunktion (Umkehrprobe: F'(x) = f(x)).